기초 수학 예제

$\frac{2 a}{a^{2} - 1} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

단계 1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 a}{a^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{a^{2 + a}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$ 에 $\frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

단계 4.2

$\frac{1}{a^{2 + a}}$ 에 $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))}$

단계 4.3

$(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))}$

단계 4.4

$a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

지수를 더하여 $a$ 에 $a^{2 + a}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1.1

$a^{2 + a}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (a^{2 + a} a) + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.1.2

$a^{2 + a}$ 에 $a$ 을 곱합니다.

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단계 6.1.2.1

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (a^{2 + a} a^{1}) + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 a^{2 + a + 1} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.1.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 a^{a + 3} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(a + 1) (a - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 a^{a + 3} + a (a - 1) + 1 (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 a^{a + 3} + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 a^{a + 3} + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

$a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.3.1.2

$a$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - 1 \cdot a + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.3.1.3

$- 1 a$ 을 $- a$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.3.1.4

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.3.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + a - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.3.2

$- a$ 를 $a$ 에 더합니다.

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} + 0 - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.3.3

$a^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

단계 6.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{a^{2} + 2 a^{a + 3} - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$